《電動力學》中的矢勢的多極展開以及磁偶極矩的性質
更新時間：2024-03-26 17:11:55作者：佚名
本文我們將回顧一下《電動力學》中矢量勢的多極展開和磁偶極矩的一些性質，只是作為回顧。
1.矢量勢的多極展開
我們都知道，在給定電流分布的空間中激發的磁場矢量勢為
其中 是源點， 是場點， 是從源點到場點的距離。 事實上，無窮大已被選為矢量勢的零點。 如果電流分布在一個較小的區域，并且場點距離該區域較遠，則可以進行多極擴展。
以區域內某一點為坐標原點，利用展開式
磁場矢量勢的多極展開式可得為
矢量勢的零階展開式為
由于恒流的連續性，可以將電流分成許多個封閉的流管，那么對于其中一個流管，有
流管中流動的電流在哪里，所以我們得到
上式的物理意義表明，矢量勢（磁場）的多極展開式不包含磁單極子項，即不包含電場情況下點電荷對應的項。
接下來我們討論磁場矢量勢的多極展開式的第二項。
出于同樣的原因，由于恒流可以分為許多閉合流管，因此考慮閉合線圈的計算。 假設線圈電流為，那么我們有
上式中是一個固定向量，與積分變量無關，而是線圈上點的坐標。 因此，通過全微分得到閉環周圍的線積分等于，即
所以
此時的表達式可以改寫為
其中，上式中
是電流線圈的磁矩。 對于一個小線圈，如果它所包圍的面積元是
那么我們可以得到
對于一般給定的電流分布空間，我們將其替換為，并得到磁矩為
2. 磁偶極矩的一些性質
回想一下上一節中磁場矢量勢的多極展開式的第二項是
然后我們可以得到磁偶極矩的磁場為
有
因此有
在電流分布以外的空間中，磁場可以用磁標量勢來描述電動力學郭碩鴻，因此我們可以將上式進一步轉化為磁標量勢的梯度形式。 由于是常數向量，由向量運算規則可知
在上式中，我們利用了無旋性質，即
然后我們得到
其中磁偶極勢為
電偶極矩產生的電偶極勢
比較起來可以看出，磁偶極子電勢與電偶極子電勢在形式上是相似的。 在上面的公式中
小電流線圈可以看作是由一對正負磁核組成的磁偶極子電動力學郭碩鴻，其磁偶極矩為
經證實，這意味著磁場確實可以用電流分布區域外空間的磁標量勢來描述。
任意電流線圈可以看成是由它所圍成的曲面上的許多小電流線圈的組合，所以它的總磁偶極矩為
式中，是線圈圍成的某個曲面，但這個曲面并不是唯一確定的。 其實并不取決于曲面的選擇，即假設sum是以線圈為邊界的兩個曲面，那么sum就成為一個閉曲面，負號表示取法線方向相反，所以我們有
現在
因此，這兩個表面具有相同的值。 至于更先進的磁多極矩，由于實際中很少使用，所以我們不再詳細討論。
三、參考資料
(1) 電動力學，郭碩宏著
(2) 經典電動力學，作者：約翰·大衛·杰克遜
(3) 電動力學導論，作者：David J.Grimths
您的喜歡和關注是我們堅持下去的動力：
由于微信平臺算法修改，公眾號內容將不再按時間順序展示。 如果您想盡快看到我的推送，強烈建議star我的公眾號。 加星的具體步驟是：點擊公眾號首頁右上角的小點，在彈出的頁面點擊“設為星”。 就是這樣。 感謝您的支持！
相關文章
為您推薦
加載中...