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如圖，直角梯形ABCD中，AB⊥BC，AD∥BC，點E是AB的中點，AD+BC=CD，下列結論中：

①△ADE∽△BEC；②DE²=DA•DC；③若設AD=a，CD=b，BC=C，則關于x的方程ax²+bx+c=0有兩個不相等的實數根；④若設AD=a，CD=b，BC=C，則關于x的方程ax²+bx+c=0有兩個相等的實數根．其中正確的結論有________．

試題答案

①②③

試題解析

過E作梯形兩底的平行線EF，交CD于F；由梯形的中位線定理知AD+BC=2EF，故DC=2EF，由于F是CD的中點，即可證得△DEC是直角三角形，然后根據得到這個條件對四個結論逐一判斷．

解答：過E作EF∥AD∥BC；

∵E是AB的中點，

∴EF是梯形ABCD的中位線，即AD+BC=2EF，F是CD的中點；

又∵AD+BC=CD，

∴CD=2EF，又F是CD的中點，

易得△DEC是直角三角形，即∠DEC=90°；

由于AD∥EF，且F是Rt△EDC斜邊CD的中點（即FE=FD），

∴∠ADE=∠FED=∠FDE，

過E作EG⊥CD，

∵∠A=∠EGD=90°，∠ADE=∠GDE，DE=DE，

∴△ADE≌△DEG，同理可證△BEC≌△GEC；

①∵∠DEC=90°，

∴∠AED+∠BEC=90°，又∠ADE+∠AED=90°，

∴∠ADE=∠BEC，又∠A=∠B，

∴△ADE∽△BEC，故本選項正確；

②在Rt△DEC中，EG⊥CD，由射影定理得：DE2=DG•DC，

由于AD=DG，所以DE2=DA•DC，故本選項正確；

③若AD=a，CD=b，BC=c，則由：

a+c=b，即c=b-a；

∴關于x的方程ax²+bx+c=0根的判別式為：

△=b²-4a（b-a）=b²-4ab+4a²=（b-2a）2；

由于EF≠AD，即CD≠2AD，b≠2a，

∴△=（b-2a）²＞0，

即方程有兩個不相等的實數根，故本選項正確；

④若AD=a，CD=b，BC=c，則由：

a+c=b，即c=b-a；

∴關于x的方程ax²+bx+c=0根的判別式為：

△=b²-4ac=b²-4a（b-a）=b²-4ab+4a²=（b-2a）²；

由于EF≠AD，即CD≠2AD，b≠2a，

∴△=（b-2a）2＞0，

即方程有兩個不相等的實數根，故本選項錯誤．

故答案是：①②③．

點評：此題考查的知識點有：直角梯形的性質、相似三角形的判定和性質、梯形中位線定理以及根的判別式等知識，解此題的關鍵有兩步：①證明△DEC是直角三角形，②通過輔助線構造出全等三角形．