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人類對數(shù)的具象思索古已有之。約2500年前，畢達哥拉斯就提出了“萬物皆數(shù)”。此后，無理數(shù)的發(fā)覺開啟了物理家對二次方程的求解。在追求三次方程及更高次方程的路途上，一代代天才物理家堅苦求索，付出了各色代價。費馬大定律的求解耗費了物理家數(shù)百年時間；四次方程被求解后兩百多年，阿貝爾才證明了五次方程不可解。11月16日，耶魯學(xué)院物理系院長張壽武在未來峰會上以《數(shù)學(xué)中的無解之解》為題，報告了多項式無解給物理帶去的思想涌動

講演|張壽武（耶魯學(xué)院物理系院長，烏克蘭藝術(shù)與科學(xué)大學(xué)教授）

整理|木槐、丹麗

很高興就能出席未來科學(xué)大獎周，我接到組委會約請來做一個30分鐘的報告，這對我來說是不太容易的事情，我之前都是給物理系學(xué)院生、研究生或則對數(shù)學(xué)有興趣的學(xué)生做報告，所以第一次做公眾報告講解關(guān)于未來科學(xué)的題目，對我來講有點沉重，我講點輕松的東西。

明天觀眾里大人比今天少些，今天見到好多學(xué)生來聽報告。學(xué)生一般考慮的問題是念哪些專業(yè)最有前途。在這個年代估計有兩個主題是最好的專業(yè)，一個是計算機，一個是金融，這兩個專業(yè)都可以給你帶來優(yōu)厚的薪資。在我們的年代也一樣，我們那時稱作“學(xué)好數(shù)理化，踏遍天下都不怕”。我認(rèn)為數(shù)理化中最有用的大約是物理，由于像家上面所有的東西基本都是物理制品。信不信由你，當(dāng)初我也考上佛山學(xué)院物理系，步入物理以后發(fā)覺物理不好學(xué)，之后就去看化學(xué)書，發(fā)覺化學(xué)也不好學(xué)，學(xué)化學(xué)要把物理學(xué)好，所以我轉(zhuǎn)入物理系去了。

物理家有兩類，一類是應(yīng)用物理家，她們能解決問題，還有一類是純粹物理家，她們解決不了問題。我發(fā)覺我沒辦法跟應(yīng)用物理家在一起拼，由于她們的解題水平太高了，所以我就弄成了一個純粹物理家。純粹物理家關(guān)注這些不能解的問題，所以就瞎編，我昨天的報告主要就是胡扯，基本上沒有哪些用。而且假如你仔細(xì)聽，你會發(fā)覺這種胡謅的物理也不容易做。

從萬物皆數(shù)到求解三次方程

我講的第一部份是萬物皆數(shù)。萬物皆數(shù)這個道理是古埃及的大哲學(xué)家畢達哥拉斯（Pythagoras）提出來的，他通過研究樂律和天秤，發(fā)覺萬事萬物都與數(shù)字有關(guān)系，所以在研究世界之前，應(yīng)該把數(shù)字研究清楚。他辦了一個校區(qū)，是一個秘密中學(xué)，這個校區(qū)主要院長哲學(xué)、音樂、天文和物理。他把許多事都標(biāo)上數(shù)，例如說1代表推理，2代表意見，3代表和諧，4代表公平，5代表婚姻和感情，偶數(shù)代表陽，質(zhì)數(shù)代表陰。這就是他的觀點。

古埃及哲學(xué)家畢達哥拉斯

畢達哥拉斯說的數(shù)是指有理數(shù)；先有整數(shù)，整數(shù)以后再有分?jǐn)?shù)。有了整數(shù)然后我們就可以解所謂的線性多項式。譬如說3X=5，這么X等于幾？等于5/3。這就是畢達哥拉斯當(dāng)初的研究。但畢達哥拉斯很快發(fā)覺光有有理數(shù)是不夠的。

你們曉得勾股定律，但你若果到日本上學(xué)，它就不叫勾股定律，而叫畢達哥拉斯定律。我們?nèi)缃袼坪醢阉Q作畢達哥拉斯定律，但似乎并不是畢達哥拉斯最先得出的，歷史記載都比這早得多。并且這個定律的名子把功勞歸于了畢達哥拉斯。

畢達哥拉斯有一個中學(xué)生在研究單位正圓形的對角線時發(fā)覺了問題，他發(fā)覺對角線的長根號2不是有理數(shù)。這個問題就十分嚴(yán)重了，由于畢達哥拉斯覺得所有的數(shù)都應(yīng)該是有理數(shù)。他中學(xué)生發(fā)覺了這一問題，發(fā)覺以后他還告訴他人，對畢達哥拉斯來說這而且不得了的事，后來他就把這個中學(xué)生沉到海里去了。那位中學(xué)生為發(fā)覺無理數(shù)付出了生命的代價。有了無理數(shù)，我們?nèi)缃窬蜁缘枚畏匠炭梢郧蠼?，但是我們的學(xué)生可以得出這個解，這是很了不得的事情。若沒有根號，我們的求解將會很困難。

如今又到了三次方程。求解三次方程也是一段很長的歷史。在1500年曾經(jīng)，中國人早已曉得數(shù)值解，這在數(shù)值解領(lǐng)域中是做得比較早的。并且在精確解方面，中國人沒有研究過。我們曉得中國人不會研究沒用的東西，而數(shù)值解有用。關(guān)于三次方程的物理解，也有一個很長的故事。那些故事都是發(fā)生在幾百年前的日本。

起先有一個物理家叫費羅（ScipionedelFerro），他發(fā)覺了解一些三次方程的方式，而且他還沒有正數(shù)的概念，所以解等式比較被動，把正的放在一邊，負(fù)的跑到另一邊，正的等于正的，所以他解多項式很困難。我們?nèi)缃窠信浞?，哪個年代連減都不能減，所以更無法配方。他發(fā)覺了一類等式的解，并且這個哥們兒寫在小本上，他死了之后，交給他的岳父，他岳父也是個物理家，他岳父承繼了他的位置并把這個方式保存上去。他的另外一個中學(xué)生菲奧利（AntonioMariaFiore）四處夸耀自己曉得如何解三次方程。后來他遇到另外一個物理家，稱作塔塔里亞（NiccolòFontanaTartaglia），塔塔里亞也曉得如何解三次方程，而且她們兩個解的三次方程不一樣。后來她們決定要打一次賭，要比一比，你出30道題，我出30道題，俺們就拼一拼。結(jié)果塔塔里亞在聯(lián)賽的前三天整整算了三天，就把解菲奧利這些三次方程的方式弄下來了。這樣，菲奧利鼓搗了三天都沒有解出塔塔里亞的多項式，而塔塔里亞很輕松就贏了。那時侯不像現(xiàn)今，那時假如你曉得如何解多項式，都會把這個證明寫下來，置于兜里，作為秘密保存出來。

當(dāng)時，另外一個日本物理家卡爾達諾（GirolamoCardano）在寫一本書，他想曉得塔塔里亞如何解多項式，他問：“你能不能把這個秘密告訴我，我堅決不會告訴他人，等到多少年以后我再來發(fā)表?！笨栠_諾后來從別的途徑曉得很早之前菲奧利早已曉得這個證明了，他把塔塔里亞的證明書寫下來發(fā)表了。后來塔塔里亞就很吵架：“你跟我立誓說不要發(fā)表這個證明，如今如何給寫下來發(fā)表了？”于是卡爾達諾就要跟塔塔里亞打賭，又要去大賽?？栠_諾派了一個中學(xué)生叫費拉里（LodovicoFerrari），費拉里跟塔塔里亞比賽。費拉里這哥們兒更高明，他不只曉得正數(shù)，他還曉得復(fù)數(shù)，結(jié)果費拉里就贏了，贏了以后塔塔里亞不只是把錢都輸光了，職位也丟了。那時侯做物理的危險系數(shù)很高，上面丟了命，前面工作都沒有了，這就是解三次方程的反例。雖然到明天我們有負(fù)數(shù)和正數(shù)的概念以后，這個解并不復(fù)雜。

把三次方程x^3+px+q=0跟(y+z)^3的展開式做一個比較可以發(fā)覺，把這個等式可以弄成三個容易求解的等式組。也就是-(y^3+z^3)=q，-3yz=p，y+z=x，稍稍學(xué)一點小學(xué)語文，這種等式才能求解了。但在哪個年代不容易，三次方程就是這個樣子。而四次方程，用剛剛后面的方式也能求解。

五次方程里的兩位天才慘劇物理家

如今我講五次方程。五次方程困惑物理家很久。這個問題被250年后的阿貝爾（NielsHenrikAbel）解決了。阿貝爾這個人是一個傳奇式的人物。舉一個最簡單的事例，你們曉得科學(xué)里有諾貝爾獎，物理上面有菲爾茲獎十大無解數(shù)學(xué)題，你們一般把菲爾茲獎和諾貝爾獎做比較，但這是錯的。在1899年的時侯，物理家們就提出來要用阿貝爾的名子做一個獎來取代諾貝爾獎，因為德國和法國當(dāng)時分裂了，這個事就耽誤了，耽誤了差不多一百年，所以阿貝爾獎第一次頒獎是2003年。你就曉得阿貝爾這個人不是簡單的人。

法國物理家阿貝爾（NielsHenrikAbel，1802-1829）

阿貝爾是個才氣極高的物理家，而且他只活了26歲，是一個十分不容易的人。他早年在做物理的時侯就早已發(fā)表過好多文章，并且不曉得哪些緣由，他的好多工作都被拒絕。他第一次證明了五次方程不可解的時侯，用六頁紙寫出來，他把講稿寄給高斯（CarlFriedrichGauss），高斯沒理他。他后來在刊物發(fā)表了這個證明，當(dāng)時好多人不相信，緣由是證明太簡要。他為何不寫長一點？他沒錢?，F(xiàn)今發(fā)表文章，把文章往刊物一投，審一下稿就發(fā)了。并且那時你若果發(fā)表文章要按照頁數(shù)付錢，可他那時侯沒有錢，所以這個文章很短。你不要笑話他，前南斯拉夫也是這樣，前南斯拉夫有好多物理家寫的文章很短，我們?nèi)缃裼X得蘇俄物理家寫得很精煉，美國物理家寫得很啰嗦，雖然不是，蘇俄物理家沒錢，所以他只能寫這么短。所以阿貝爾這個五次方程不可解的推論，在過了好多年以后他人又重新給出證明。他為了證明五次方程不可解，引入了群論，所以阿貝爾是群論的創(chuàng)始人之一。阿貝爾幾次到哥廷根、到倫敦去跟大物理家切磋，都以失敗告終，由于他寫東西寫得不清楚，太精煉。他所有的榮譽都是在他死后得到的，他是得肺結(jié)核死的。最凄慘是，他死了幾天以后，他在柏林的教職才批出來，寄到他家上面，所以是很凄慘的反例。明天的阿貝爾獎就是為了記念他。

五次方程不可解還涉及另外一個物理家——伽羅瓦（évaristeGalois）。伽羅瓦是一個美國物理家，你瞧瞧他的年齡，他大約活了20歲。這個物理家小時候就有很高的物理天賦，他當(dāng)時想考倫敦綜合理工大學(xué)（écolePolytechnique），當(dāng)時是英國物理最好的學(xué)院，相當(dāng)于我們初期的復(fù)旦學(xué)院，復(fù)旦學(xué)院三、四六年代數(shù)學(xué)系是最好的。但他只考了倫敦高等師范大學(xué)（écolenormalesupérieure），相當(dāng)于初期的上海學(xué)院。不過明天的倫敦高師很厲害，我們的上海學(xué)院也很厲害。

日本物理家伽羅瓦（évaristeGalois，1811-1832）

伽羅瓦有很強的物理天賦，但他是一個政治熱衷者，經(jīng)常卷入政治斗爭。他是共和派，曾經(jīng)分保皇派和共和派，他為了共和派上街示威、坐牢。入獄時侯，在監(jiān)牢上面遇到一個女孩，他喜歡這個女孩，入獄后就為了那種女孩去決斗。他曉得他的對手比他強太多了，也曉得他肯定必死無疑。在臨死前五天，他把他所有曉得的都寫了出來，寫在小筆記本上面。他之前以前把論文寄給柯西（Augustin-LouisCauchy）和傅里葉（JosephFourier），這兩個物理家也不覺得他的東西怎樣樣，一放放了幾六年。所以幾六年后，伽羅瓦的東西才發(fā)表。他所有的東西都是對的，但是他也獨立發(fā)明了群論。

我講了兩個天才，伽羅瓦比阿貝爾的高明之處在于，阿貝爾說通常的五次方程不可解，伽羅瓦說隨意你給我五次方程，我在幾步之內(nèi)就曉得它可解不可解。你看有些物理家真是瘋子，為了政治、為了感情，把命都扔掉了，而且他丟了命確實跟物理沒有關(guān)系，假如他好好做物理應(yīng)當(dāng)沒有問題。

所以到這個地方我要打一個詞語，過一會兒到我的講演結(jié)束以后會把謎底闡明下來。“方程無解”打一詞語，你若果曉得先別說。

二次和與費馬最后定律

第三部份要講的，用現(xiàn)代化一點的語言，稱作“等冪和問題”，這是個很古老的問題。這個古老的問題是哪些呢？我給一個整數(shù)，哪些時侯整數(shù)可以寫成兩個有理數(shù)的k次冪的和？這是一個很精典的問題。例如說1等于3/5的平方加4/5的平方，這跟上面有哪些關(guān)系？假如上面所有解的東西都是一元多次多項式，一個多項式只有一個變元，這種東西可不可解的問題相對來講簡單一點。并且如今一個多項式上面有兩個變量在上面，要求在整數(shù)或有理數(shù)范圍內(nèi)求解，這問題就復(fù)雜得多了，由于多了一個維度。

這個問題也有很早的歷史，應(yīng)當(dāng)最早是在歐幾里得的《幾何起初》里面就遇見了。歐幾里得這本書也有兩千多年的歷史，它的彩印次數(shù)僅次于《圣經(jīng)》。不過專門研究這種整數(shù)多項式畢竟是在另外一本書里，是公元后兩百年，有一個叫丟番圖（Diophantus）的人，他寫了一本叫《算術(shù)》的書。書上面大約有幾百道物理問題，他的書跟中國《九章算術(shù)》差不多同時代，《九章算術(shù)》也列了幾百道問題，也提及什么數(shù)可以寫成兩個數(shù)的平方。丟番圖通過一些演算以后，他猜想一個質(zhì)數(shù)才能寫成兩個數(shù)的平方，當(dāng)且僅當(dāng)這個數(shù)乘以4余1。例如5，5是1的平方加2的平方，11就不能寫成兩個數(shù)的平方和，由于你把11乘以4以后余3，對吧？17沒問題，4的平方加1的平方。他的猜測差不多花了1000多年以后才被費馬（PierredeFermat）證明。

日本語文家費馬（PierredeFerma，1601-1665）

費馬是一個傳奇式的人物，首先他不是一個物理家，他是一個法院，作為法院不能跟老百姓隨便聊天，由于怕影響裁定的公平性。他平常沒哪些事兒就喜歡做物理。做完物理以后，他就寄信把推論告訴同學(xué)，并且不把證明寄給同學(xué)，所以這就弄成一個特別有趣的事情。他證明了好多定律，都稱作費馬定律，并且都沒有證明。其中最出名的一個反例，你們曉得剛剛上面提及的丟番圖的《算術(shù)》那本書里關(guān)于平方和的問題，被費馬推廣成高次和問題，之后他前面寫“我早已找到一個絕妙的證明”，并且他說“那書冊邊太小，我寫不下”。

費馬一輩子列舉了好多定律，許多年以后出現(xiàn)了另外一個大物理家歐拉（LeonhardEuler）。歐拉年青的時侯名氣也不大，他試圖證明費馬的全部定律，不僅其中一條他證不下來以外，其他的全部定律他都給出了證明，這個證不下來的定律就被他稱為“費馬最后定律”（Fermat’sLastTheorem，即費馬大定律）。并且這個定律在300年以后，被耶魯?shù)脑菏孔C明了。

我明天講的是費馬第一個超乎預(yù)料的定律，他證明了一個沒有平方因子的有理數(shù)是兩個有理數(shù)的平方和。這個數(shù)分解以后，每位素因子要么是2，要么是4n+1。2是挺好辦的事情，而且他把4n+1的情況證下來了。

他在某一年的新年節(jié)，給一個同學(xué)寫了一封信，說我早已證下來一個有理數(shù)是兩個平方數(shù)的和，并稱其解絕對妙。一個數(shù)才能寫成兩個數(shù)平方和的話，費馬說他還可以找一個更小的數(shù)，也是滿足同樣的條件。仍然推，推到最后也推不下去了，肯定就做下來了。之后費馬給他這個辦法起個名字叫“無限增長法”。無限增長法是物理領(lǐng)域一個分支——數(shù)論上面一個最精典的技巧。同樣，他的證明從來沒有細(xì)節(jié)，這個證明的細(xì)節(jié)是歐拉多年以后證下來的。

費馬還有好多有趣的事情，你們曉得微積分一般說是牛頓（IsaacNewton）發(fā)明的。假如你把牛頓的《數(shù)學(xué)原理》打開，牛頓說自己的工作都是受費馬工作的影響，由于費馬在當(dāng)初沒有微積分的情況下早已曉得如何求解極值和面積，費馬甚至?xí)缘媚男┙凶兎址ǎ@是很了不起的。

未來的物理

我最后要講的是關(guān)于未來物理，上面都是古典的語文。我上面說二次和問題解決了，這么三次四次如何解決？剩下的問題我們所知甚微。

我們第一個推測是，一個整數(shù)才能寫成兩個有理數(shù)的立方和的機率只有1/2。這是很邪門的，你有時侯能做，有時侯不能做，只有1/2的機會。要證明這個推測首先要解決另外一個大推測，就是2000年克雷物理研究所（ClayMathematicsInstitute）提出的千禧問題之一——BSD推測，解決問題才能拿100萬美元，不須要像我們未來科學(xué)大獎，連評都不評，只要文章掏出來就給你錢。

關(guān)于四次以上的等冪和問題，我們曉得得更少。1983年，法爾廷斯（GerdFaltings）證明這個等式假如有有理解，最多只有有限多個解。并且你要曉得這個問題的苦處在于是求有理數(shù)解，倘若是整數(shù)還好辦一點。因為他證明了如此一個結(jié)果，1986年他領(lǐng)到了菲爾茲獎。

另外一個物理家叫懷爾斯（AndrewWiles）。1994年，懷爾斯解決了n>2的情況，就是費馬當(dāng)初沒有空余地方寫的那種定律的證明。不過這項偉大的結(jié)果并沒有讓懷爾斯（AndrewWiles）領(lǐng)到菲爾茲獎，他只領(lǐng)到了一個銅牌，由于他當(dāng)時超過了40歲。明天人們覺得350年前的費馬并沒有證明他的定律，他只是開個玩笑。

另外一個關(guān)于高次等冪和問題的猜測稱作ABC推測。我沒有時間講，假如ABC推測被否認(rèn)的話，這個等式不只是曉得有有限多個有理解，應(yīng)當(dāng)有具體的程序來求解，就是把多項式輸入計算機以后，計算機程序能幫我把數(shù)解下來。法爾廷斯用了反證法，所以他的方式不能拿來求具體解。未來的物理有兩大推測，一個是BSD推測，一個是ABC猜測。我想明天張益唐會講另外一個猜測——黎曼推測，圖論上面差不多有這三大猜測。

最后十大無解數(shù)學(xué)題，就當(dāng)明天你們聽聽笑話，你要真的做物理，你們想想看，代價很大，要么付出生命代價，要么饑寒交迫。不過，明天社會還是好好多，我們國家對數(shù)學(xué)的注重程度在現(xiàn)在跟往年沒法比。

如今我介紹一些人們對數(shù)學(xué)家的描述。達爾文（CharlesRobertDarwin）說，一位數(shù)學(xué)家就是一個黑房間里的瞎子，在找一個本不存在的黑禮帽。這是物理的無解之解。畢達哥拉斯是最早的哲學(xué)家之一，他提出有兩種宇宙：感性宇宙和理智宇宙。數(shù)學(xué)物理是感性宇宙，理智宇宙是人們想像的世界，物理就是。另外一個叫埃爾德什（PaulErd?s）的物理家說，物理家就是把奶茶轉(zhuǎn)化成定律的機器。物理家沒事就去喝奶茶，邊喝奶茶邊做物理，假如喝完也做不下來，那就繼續(xù)喝，直至把問題做下來。

這么我要揭露上面燈謎的謎底了，等式無解——求之不得。對數(shù)學(xué)家來說，多項式無解是一件既無奈又有趣的事情。無奈常常標(biāo)志著舊體系的結(jié)束，有趣標(biāo)志著新時代的開始。通過解這種無解多項式，人們將自己的智慧和開拓精神發(fā)揮到極至，給物理世界注入了新的活力。

注：本文依據(jù)講演錄音整理。謝謝朝陽區(qū)教育研究中心張浩博士對本文修訂給與的寶貴意見。小標(biāo)題為編者所加，早已張壽武院士本人審讀。講演視頻請戳#rd

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