2023 年福建省質檢多選壓軸題第 12 題解法及異面直線距離探討
更新時間：2024-07-17 10:47:35作者：佚名
1.解決方案介紹：
首先展示最簡單的方法。由于要求的是兩條直線上兩個移動點之間距離的最小值，我們可以假設兩點的坐標，然后利用兩點之間的距離公式來找到最小值。
這種方法比較簡單，但是二元函數極值的問題對于大多數考生來說比較難。
2.非共面直線之間的距離：
這道題本質上考的是非共面線之間的距離，有朋友可能會問，非共面線之間的距離是多少呢？
如圖：在一個立方體中，棱與棱所在直線為非共面的直線，直線與它們垂直相交，兩條非共面直線垂直相交的直線叫做這兩條非共面直線的公共垂直線。
任何兩條非共面的直線都只有一條公共垂直線。
兩條斜線的公垂直線在兩條斜線之間的部分稱為這兩條斜線的公垂直線段。
（可以證明兩條非共面直線的公共垂直線段的長度，就是這兩條非共面直線上兩點連線的最短線段。）
兩條斜線公共垂直線段的長度稱為這兩條斜線之間的距離。
3.前世與今生：
我們現在用的教科書里有嗎？我可以負責任地說，表面上沒有！最近一次出現是在2006年第二版教科書的第二卷（B下）：
但教科書里真的沒有這個規定嗎？事實上，在最新兩版教科書中都有這個規定的蹤跡！
2004年，教育部發布《課程標準（實驗）》，教材由大綱版改為課程標準版，出版了必修1-5，選修2-1、2-2、2-3（理科）貝語網校，選修1-1、1-2（文科）。這套教材已經徹底拋棄了非共面線間距離的概念，在空間矢量部分以練習的形式引入了其含義。在選修2-1中，是這樣呈現的：
2017年，《高中課程標準》正式發布。2019年修訂后，《課程標準實驗教材》正式被《課程標準教材》取代。后者延續了前者的編排，沒有了非共面直線間距離的概念，連練習題也沿襲了老規矩，但有所創新（見下文）！選修必修一是這樣呈現的：
請大家注意看附加題（第5題），是不是很眼熟？！！！那就是選項的來源！
這里的“新”是指引入了一個新的公式：點到線的距離，這為求不同平面上直線間的距離提供了新的思路和方向，將在后續的解題中呈現。
4. 求非共面直線和距離的方法：
（1）找（或作）兩條非共面直線的公共垂直線，并計算公共垂直線段的長度。
（2）換算成線到平面的距離（再換算成點到平面的距離）。
如圖所示，找到使得//，的平面。
（3）換算成平行平面的距離（再換算成點到平面的距離）。
如圖所示，求平面和直線的法向量，使得//，//，，。
（4）求出兩條斜線上的公共法向量，再求出斜線上兩點所形成的向量在公共法向量上的投影向量的模。
如圖，，，，那么兩條非共面直線之間的距離
（5）求兩條直線上兩移動點之間的最小距離。
（6）求直線上一個移動點到另一條非共面直線的最小距離。
（7）我不推薦老教科書里的公式，大家可以自行判斷使用。
（該問題的各種解決方法如下）
5.解決方案介紹：
6. 重制環節——您更喜歡哪種方式？請留言！
7.教學建議：
（1）引入非共面線距離概念的目的不是為了增加學生的學習負擔，而是為了幫助他們對此類問題有更根本的認識。
（2）本文提到的七種方法，旨在幫助同事們在日常教學過程中有意識地加強數學思維方法的滲透和運用，從而提高學生的數學素養，而不是強迫學生一味地死記硬背次要的結論。正如 Kunizo Yoneyama 所說：學生所學的數學知識在步入社會一兩年后就會被遺忘，但刻在他們腦海中的數學精神和數學思維方法直線的法向量，將會在他們的生活和工作中發揮長久的作用！
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