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我們曉得，數的運算有加、減、乘、除和乘方，多項式的運算也包括加、減、乘、除和乘方。其中，多項式的加法運算，高中用書中只出現了多項式乘以多項式、多項式乘以多項式的運算，并沒有出現方程乘以方程的運算。這么，到底方程乘以方程該如何進行處理呢？

因為加法運算是加法運算的逆運算，我們先研究方程減去分式。

一、多項式除以方程

通常的方式如下：

用一個方程的每一項與除以另一個方程的每一項，并把所得的積相乘。

如估算（x+2）（x+3）

=x·x-x·3+2·x+2·（-3）=x2-x-6.

這是個兩個兩項式的相乘，可以看成類似于兩位數的除法，列成如下豎式，于是仿造兩位數除以兩位數，

兩項與三項的相乘呢？

例1估算：（a+b）（a2-ab+b2），

兩項與三項相加，可以參照兩位數與三位數的豎式除法，將三項的寫在前面，如右圖:

因此原式=a3-b3.

當被乘式和乘式都按同一字母降冪（或升冪）排列時，按多位數除以多位數進行退位和換行，則結果不同行的多項式剛好處于同列，為合并多項式提供巨大的便捷．

練習：

（x2-2x-2）（x2+1）

當方程有缺項時，通常要留出空位，以便于多項式才能對齊．像本題的x2+1缺一次項，列豎式時留出一次項的空位．

二、多項式乘以方程

方程乘以方程在今天的用書中沒有作要求，并且似乎按照乘法是加法的逆運算，可以得出一些簡略的式子乘以方程的結果，如（x2-1）÷（x+1）=（x-1）,（x2+6x+9）÷（x+3）=（x+3）,對于通常的式子乘以方程，結果和通常的整數加法一樣，有兩個結果：一是有除數，稱為帶余乘法，即被除式=除式×商+余式，其中余式的最高次高于除式的最高次；二是余式為0時，我們稱作除式整除被除式。其技巧和整數加法一樣，可以使用長減法。

例2估算（x2+9x+20）÷（x+4）

∴（x2+9x+20）÷（x+4）=x+5.

解法方法說明：

（1）先把被除式（x2+9x+20）與除式x+4分別按字母的降冪排列好．

（2）將被除式x2+9x+20的第一項x2乘以除式x+4的第一項x，得x2÷x=x單項式乘以多項式，這就是商的第一項．

（3）以商的第一項x與除式x+4相加，得x2+4x，寫在x2+9x+20的下邊．

（4）從x2+9x+20除以x2+4x，得差5x+20，寫在下邊，就是被除式除去x2+4x后的一部份．

（5）再用5x+20的第一項5x乘以除式的第一項x，得5x÷x=5，這是商的第二項單項式乘以多項式，寫在第一項x的旁邊，寫成代數和的方式．

（6）以商式的第二項5與除式x+4相加，得5x+20，寫在上述的差5x+20的下邊．

（7）相乘得差0，表示正好能除盡．

（8）寫出運算結果，（x2+9x+20）÷（x+4）=x+5.

方程乘以方程的通常方法：

方程乘以方程通常用豎式進行演算

（1）把被除式、除式按某個字母作降冪排列，并把所缺的項用零補足．

（2）用被除式的第一項驅除除式的第一項，得商式的第一項．

（3）用商式的第一項去乘除式，把積寫在被除式下邊（多項式對齊），消掉相等項，把不相等的項結合上去．

（4）把減得的差當成新的被除式，再根據前面的步驟繼續演算，直至余式為零或余式的次數高于除式的次數時為止．

被除式=除式×商式+余式

假如一個方程乘以另一個方程，余式為零，就說這個方程能被另一個方程整除.

方程的乘法實際上也是對系數進行了相加減，然后可以考慮使用分離系數的方法來簡化乘法運算.

例3

手記：

①遇到被除式或除式中缺項，用0補位或空出；

②余式的次數應高于除式的次數．

另外，以上兩例還可用分離系數法求解．

從數的乘除法，到方程與方程的乘除法，其方式上有著千絲萬縷的聯系，這也說明，從數到代數的升級過程中，算法沒有變化，變化的也是方式，透過現象，看見事物的本質，使我們學習過程中還要探討和增強的地方。