行列式是什么 居“測度之高”去臨“面積”之下，也是得花些力氣的
更新時間：2024-05-06 11:55:55作者：佚名
彭錫成
華中師范大學國家數字化學習工程技術研究中心, 武漢 430079
張殿周和鄒一新老師在《現代數學與中學數學》的序言中有這樣的討論：我們在師范院校任教多年，深感名列前茅，不一定就名列前茅。自然墊底。 大學課程只教授學科知識本身，而中學中與實際情況相關的任務往往被認為是繁瑣而忽視的。 例如，當我們談論實變函數理論時，我們談論勒貝格測度和勒貝格積分，但我們不屑于談論測度、面積和體積之間的內在關系。 對于中學教師來說，或許后者才是至關重要的。 生活在“最高衡量標準”、處于“區域”之下，是需要付出一些努力的。 序言中還寫到：盡管稿子是這樣寫的，但我還是覺得有很多不足之處，尤其是與中學的聯系不夠緊密，對申請方面的介紹也不夠。
這些話雖然是謙虛的話，但也啟示我們要注重應用和案例。 這就是我個人所做的。 當我看到初等數的問題時，我希望將其與高級數聯系起來。 這是高等初等數學。 當我看到高級數的屬性時，我總是嘗試將其應用到初等數上。 這是高等數學中的初等數學； 經過一番努力，我們找到了一些滿意的案例。 高等數學使初等數學問題變得簡單明了。
本文引用的案例使用行列式來解決幾何問題。 有很多名為“線性代數”的書。 從頭到尾都在講空間，但真正將線性代數與幾何，尤其是平面幾何結合起來的書并不多。 莫雷定理的證明出現在德國數學家克林根貝格的《線性代數與幾何》一書中，這在國內許多同名書籍中是罕見的。 在該書第三版的序言中，有這樣的觀點：線性代數本身并不是簡單的目的，而是作為分析的基本輔助工具，并且首先是為幾何提出的。 這說明線性代數與幾何研究密切相關。
收集整理這一領域發展的案例是非常有意義的。 對于師范生來說，常常會困惑，以后上中學時是否會用到這么多高等數學。 對于想要提高自己的中學教師來說，再次拿起大學教材，讀了幾頁就感覺頭暈，感覺有點，但似乎沒有直接的效果。 他們迫切需要立竿見影的效果，否則很難堅持下去。 有了這方面的案例，師范生和中學教師就會更有動力、更好地學習高等數學。 不要責怪大家都這么現實。 畢竟，能夠達到歐幾里得思想水平的人還是屈指可數。
學習高等數學對中學數學教學有何幫助？
這是很多師范生普遍存在的疑問。 即使上班了，這個疑問也沒有消除。
如果一個普通學生去問他的大學老師，老師可能會這樣回答：
深入才能深入淺出，高高在上才能居高臨下。
要給學生一杯水，老師必須有一桶水。
只有深刻掌握數學的思想和方法，認清數學的本質，我們才能胸有成竹、胸有成竹。
在學習高等數學和教授初等數學之后，當你遇到一些看似平凡的內容時，你就能看到內在的不平凡。 當你遇到一些初等數學無法解釋清楚的難題時，你就能看到本質并輕松解決。 這稱為輕松舉起重量。
……
如果一個正常的學生問：你能舉個例子嗎？ 為什么我感覺大學四年所學的東西對我以后的中學教學沒有太大幫助，尤其是偏微分方程、復變函數等課程。
這時，大學老師往往無言以對，大多會回到以前的原則：“居高臨下，深入淺出……”
講大道理很容易，做細節工作卻很難。
事實上，這個問題由來已久，并且不僅僅困擾著師范生和中學教師。 這個問題也引起了很多專家學者的思考，他們也試圖回答這個問題。
F.克萊因曾提出一個術語：雙重遺忘，就是說，當你在大學學習高等數學時，你忘記了中學數學，而當你畢業并成為一名中學教師時，你又忘記了高等數學。
雙忘，這是很多人的感受。 當我進入大學時，我并不覺得大學數學和高中數學有什么聯系。 看起來我是在學習新的東西，而不是在以前的基礎上有所改進。 擔任中學教師后，我所學的高深數學知識并沒有多大用處。
為了解決這個問題，F.克萊因寫了《高處看初等數學》，成為數學教育研究領域的經典。
此后行列式是什么，類似的著作不斷涌現，如張殿周、鄒一新的《現代數學與中學數學》，堪稱代表作。 如果你不糾結書名，很多著名作家的熱門作品都可以算作這一類，比如上海教育出版社的《初等數學叢書》、理科大學的《樹林外傳》中國報社、科技報等
學習初等數學是一個很大的話題。 學習高等數學是另一個大課題。 兩者綜合研究涉及面更廣，絕不是兩者的簡單相加。 這么大的課題，絕對不是幾個人通過發表幾篇文章、出版幾本書就能研究清楚的。 需要有人繼續學習，繼續前進。 更重要的是，初等數學和高等數學的研究內容也在不斷變化。
那么如何研究初等數學和高等數學的關系呢？ 有很多角度。 作為著名數學家，F·克萊因憑借深厚的數學功底，選擇了居高臨下的視角。 這種研究視角可以讓人們看清一些初等數學問題的背景，提高數學素養。 不過這樣寫也存在一些問題。 比如貝語網校，在某些問題上，作者身高太高，超出了普通讀者的接受能力； 又如，作者主要是以數學家的身份來寫這本書，與中學數學的聯系較少。
我們能否從初等數學開始，向高等數學邁進？ 這當然也是一個可以考慮的研究角度。 這也是本書《從初等數學到高等數學》書名的由來。
From，表示起點。 表達你想要前進的方向。
有的讀者讀了我這方面的幾篇文章，問：“你的研究為什么這么膚淺？你發現的問題大部分都可以用初等數學解決。為什么你不去發現更多初等數學不能解決的問題呢？”數學？只有這樣才能凸顯高等數學的威力?！?優點。”
這是因為這位讀者不明白我的寫作立場。 我的起點是初等數學，希望能邁向高等數學，但能達到什么階段很難說。 如果你正在尋找一些初等數學無法解決的問題，那就太容易了。 高等數學有很多問題集。 但要找到一些可以從初等數學和高等數學的角度思考的話題，從而加深對數學的理解，卻并不容易。
必須承認，與《高處看初等數學》相比，《從初等數學到高等數學》在標題上要弱得多。 這方面是由于我的見識有限，無法談什么高見。 即使我想鼓起勇氣打個虛假廣告，假裝觀點高，恐怕讀者也會質疑：為什么說觀點高？ 為什么這么高？ 隱藏自己的卑微行列式是什么，勝過暴露自己的丑陋，所以，最好誠實。 另一方面，我也受到了Freidenthal的影響。
Freidenthal強調：為什么縮小中學數學和大學數學之間的差距遲遲沒有實現？ 隨著數學的社會重要性不斷增長，溝通差距的需求也隨之增加。 如果我們今天想要實現克萊因的想法，“從高的角度教授初等數學”，就必須從接近中學數學的較低水平開始。
由此可見，高觀點和低起點并不是對立的。
關于初等數學和高等數學的定義，學術界尚未有定論。
龔勝先生認為：“習慣上稱微積分為高等數學。微積分在牛頓時代自然就先進了，現在看來只能說是數學的初步知識?！?/p>
單燕先生說：“其實高級研究和基礎研究沒有什么區別。得出高級結論是一個新發現，解決初級問題也是一個新發現。都是人類走向未知領域?！焙芏嗳藗兪煜さ拇髥栴}，比如費馬大定理、哥德巴赫問題，它們的起源都屬于初等數學?！?/p>
在本書中，認為導數和行列式等知識的使用被認為是高等數學，盡管這些知識已經出現在某些領域的中學教科書中。
我從大學時期就開始研究這個問題，主要從以下幾個角度：
1、對比初高中教材，檢查每個知識點，思考如何用高等數學知識來看待；
2、對比大學教材，核對每個知識點，思考如何與中學數學知識聯系起來；
3、思考哪些中學知識在大學里用的比較多，基礎數學起什么樣的基礎作用；
4.在解決問題的同時學習和理解數學知識。 找一些問題，從初等數學和高等數學兩個角度來看。 有的甚至提供多種解決方案進行比較。
也有一些關注點，但是一旦分散，空間比原來想象的要大很多，所以我最終決定先關注微積分和線性代數。 如果以后有機會，我會考慮出續集甚至系列書。
雖然我有如此宏偉的想法，但我也知道我不是寫這本書的最佳人選。 我不在中學教書，也不教高等數學。 我不依賴兩者。 我認識一些做過中學數學、大學數學研究的朋友，我曾“鼓勵”他們寫這方面的書，因為我認為他們可以比我做得更好，但他們中的一些人說他們很忙，并且有些人說他們太忙了。 太自卑了。
說實話，我每次都要找他們，我覺得很煩。 蜀國有兩個和尚。 到了南海，富和尚當然有優勢，但最終卻是窮和尚先走。 向別人尋求幫助比向自己尋求幫助更好。 自己動手，吃飽穿暖。 我正在嘗試做這個工作，也算是對我大學時期苦苦思考的這個問題的一種解釋。 也希望能給還在思考這個問題的朋友一些啟發。
我曾在新浪博客上發表過本書的部分章節，并得到了讀者的鼓勵。 他們都期待著這本書的早日出版，尤其是讀者QQ群（306162497）的朋友彭希成。 他們說：早點發表吧，即使不完美，但你這么努力也不容易。 我相信您的書的出版一定會帶動這個話題的研究和相關書籍的出版。
安慰的話不太靠譜，我從來不相信出謀劃策的想法。 否則，你可以做一個實驗。 別人扔一塊磚，你真的愿意扔一塊玉嗎？ 玉石出來是我自己想出來的，和眼前的磚頭沒有關系。
我只能說，我盡了最大的努力來寫這本書，這確實是一項偉大的成就。 我幾乎把圖書館里的10多行微積分和線性代數題集都看完了。 因為我固執地認為，“居高臨下、淺顯易懂”的原則固然沒有錯，但如何操作“居高臨下、深入淺出”卻很少被提及，而且是不清楚。 如果你想真正說服別人，你需要具體的案例。 目前好的案例不多，很多都是從書本上抄來的。 它們可以被譽為經久不衰的經典案例，也可以被嘲笑為毫無新意的陳詞濫調。 因此，有必要扎實地整理一些案例。 和創新研究。
本書的假設讀者群為：數學教育領域的師范生、剛剛進入大學、對高等數學學習不適應并希望利用初等數學基礎學習高等數學的大學生、高中生有學習空間的學生，特別是想參加自主招生的學生以及大、中數學學生。 教師，以及廣大數學教育研究者和數學問題解決研究者。
如果這本書有一天能成為師范生的教材或中學教師的培訓講義，我將非常高興。
我的老師張敬中老師多次真誠地對我說：如果你懂得一點微積分就好了，這樣你就可以做更深入的研究。 可見，在張老師看來，我根本不懂微積分。 現在已經出版了這樣一本書。 寫得有多好，只能由讀者來評判。 歡迎讀者批評指正。
【新書首發】從初等數學到高等數學·第一卷，彭希成主編。
書名：從初等數學到高等數學·第一卷
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