2021 年江蘇數學高考真題試卷（Word 版，含答案）免費下載
更新時間：2024-07-30 17:40:51作者：佚名
2021江蘇高考數學試卷（Word版，
（附答案）
絕密★激活前
2019年全國普通高等學校招生考試（江蘇試卷）
數學一
防范措施
請考生在作答題目前，仔細閱讀本說明及每道題的作答要求。
1、本試卷共4頁，均為非多項選擇題（第1題至第20題，共20題）。
滿分為160分，考試時間為120分鐘。
請歸還每張問題卡。
2、回答問題前，請務必用0.5毫米黑色墨水簽上您的姓名和考號。
在試卷和答題紙上的指定區域填寫內容。
3.請仔細檢查監考老師在答題紙上粘貼的條形碼上的姓名和考試號碼。
不確定是否與該人相符。
4. 作答時，必須用0.5毫米黑色墨水筆在答題紙上指定區域內書寫。
放在其他位置的答案將無效。
5、如需畫畫，必須用2B鉛筆畫好、寫清楚，線條及符號必須黑色、加粗。
參考公式：
樣本數據的方差，其中。
圓柱體的體積為其中是圓柱體底面的面積，是圓柱體的高度。
圓錐的體積為其中是圓錐的底面積，是圓錐的高度。
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1.填空：本部分共14題，每題5分，共70分。請將答案填入空白處。
填寫在答題紙上相應的位置上。
1. 給定一個集合，，則
▲
2. 已知復數的實部為0，其中為虛數單位，則實數a的值為
▲
3.下圖是算法流程圖，則S的輸出值為
▲
4. 函數的定義域是
▲
5.給定一組數據6,7,8,8,9,10，這組數據的方差是
▲
6.從3名男生和2名女生中選出2名學生參加志愿服務。
所選兩名學生中至少有一人是女學生的概率為
▲
7. 在直角坐標系中，若一條雙曲線過點（3，4），則該雙曲線的漸近值為
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該直線方程為
▲
8. 假設序列為等差序列，其前 n 項之和為 。如果 ，則值為
▲
9.如圖，長方體的體積為120，E為中點，則三棱錐E-BCD的體積為
是的
▲
10.在平面直角坐標系中，設P為曲線上的動點，則P點到直線的距離為
最小距離 x+y=0 是
▲
11.在直角坐標系中，點A在曲線y=lnx上，曲線在點A處。
A的切線過點（-e，-1）（e為自然對數的底數），則A點的坐標為
▲
12.如圖，D為BC中點，E在邊AB上，BE=2EA，AD不
CE 與點相交。如果，則值為
▲
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13. 假設的值是
▲
14. 設是在 R 上定義的兩個周期函數，周期為 4，周期為 2，且
奇函數。當，，，其中 k>0。如果在區間 (0,9] 上有 8 個關于 x 的方程
同一個實根，則k的范圍是
▲
二、回答題：本題共6個分題，總分90分，請在答題紙指定區域內作答。
答：作答時應寫出書面說明、證明過程或計算步驟。
15.（本題滿分14分）
在△ABC中，角A、角B、角C的對邊分別為a、b、c。
（1）如果a=3c，b=，cosB=，求c的值；
（2）若 ，求 的值。
16.（本題14分）
如圖所示，在直立三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分別為BC、AC的中點。
AB=BC。
證明：（1）A1B1∥平面DEC1；
（2）BE⊥C1E。
17.（本題14分）
如圖所示，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C:的焦點為F1(-1,0)，
F2 (1, 0)。畫一條通過 F2 到 x 軸的垂直線 l。它位于 x 軸上方，并且不與 F2 在點相交
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A、橢圓與C相交于點D.連接AF1并延伸與F2相交于點B，連接BF2與F2相交
橢圓C終止于點E并連接DF1。
已知DF1=。
（1）求出橢圓的標準方程C；
（2）求E點的坐標。
18.（本題16分）
如圖所示，某個湖泊的邊界是一個以O為圓心的圓，湖的一側有一條直路l。
湖上有一座橋AB（AB為圓O的直徑），擬在道路l上選取兩點P、Q。
并建設兩條直線路段PB、QA。規劃要求：線段PB、QA上所有點
點A、B到直線l的距離均不小于圓O的半徑。
這些數字是 AC 和 BD（C 和 D 是垂線的腳），我們得到 AB=10，AC=6，BD=12（單
位置：100米）。
（1）如果道路PB不垂直于橋梁AB，求道路PB的長度；
（2）在規劃要求下，在D點是否可以選取P、Q中的一個？解釋原因；
（3）根據規劃要求，設道路PB、QA的長度均為d（單位：百米）。
當 d 最小時，求出點 P 和 Q 之間的距離。
19.（本題滿分16分）
設函數為f(x)的導數。
（1）若a=b=c，f（4）=8，求a的值；
（2）若a≠b，b=c，且f(x)的零點和都在集合中，求f(x)的極值點。
值較??；
（3）若江蘇數學高考，且f(x)的最大值是M，則證明：M≤。
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20.（滿分16分）
將首項為 1 且公比為正數的幾何數列定義為“M 序列”。
（1）給定一個幾何數列{an}，滿足：，證明數列{an}為“M-序列”；
（2）已知序列{bn}滿足：江蘇數學高考，其中Sn是序列{bn}前n項的和。
①求出序列{bn}的通式；
② 設m為正整數，若存在一個“M-序列”{cn}，對任意正整數k，當k≤m時
當 時，全部為真。求m的最大值。
2019年全國普通高等學校招生考試（江蘇試卷）
數學Ⅰ參考答案
1.填空題：考查基礎知識、基本操作和基本思維方法。每題5個
分，總計70分。
1.
2.2
3.5
4.
5.
6.
7.
8.16
9.10
10.4
11.
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12.
13.
14.
2. 回答問題
15、本題主要考察正弦定理、余弦定理、同角三角函數的關系、以及導出的公式。
考試以公式等基礎知識為主，考查計算和解決問題的能力，滿分為14分。
解決方案：（1）因為，
根據余弦定理，我們得到，即。
所以。
（2）因為
根據正弦定律，我們得到，所以。
因此，也就是說，因此。
因為，所以，如此。
所以。
16、本題主要考查直線與非直線、直線與平面、平面與非平面的位置關系。
測試主要考查空間想象、推理能力等基礎知識，滿分為14分。
證明：（1）因D、E分別為BC、AC的中點，
所以ED∥AB。
在直角三棱柱ABC-A1B1C1中，AB∥A1B1，
所以 A1B1∥ED。
又因為ED?平面DEC1，A1B1平面DEC1，
所以 A1B1∥平面 DEC1。
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（2）由于AB=BC，且E是AC的中點，所以BE⊥AC。
由于三棱柱ABC-A1B1C1為直棱柱，故CC1⊥平面ABC。
又因BE?平面ABC，CC1⊥BE。
因為C1C?平面A1ACC1，AC?平面A1ACC1，C1C∩AC=C，
所以BE⊥平面A1ACC1。
由于C1E？平面A1ACC1，BE⊥C1E。
17. 本題主要考查直線方程、圓方程、橢圓方程、橢圓的幾何性質、
直線、橢圓的位置關系等基礎知識、推理分析問題的能力
能力及計算及解決問題的能力。滿分14分。
解：（1）設橢圓C的焦距為2c。
因為F1(-1,0)，F2(1,0)，所以F1F2=2，c=1。
又因為 DF1=,AF2⊥x 軸，所以 DF2=，
因此 2a=DF1+DF2=4，因而 a=2。
從b2=a2-c2，我們得到b2=3。
因此，橢圓C的標準方程為。
（2）解決方案1：
從（1）可知橢圓C:，a=2，
由于AF2⊥x軸，所以A點的橫坐標為1。
將 x=1 代入 F2(x-1) 方程
2+y2=16，解得y=±4。
由于點 A 位于 x 軸上方，因此我們得到 A(1,4)。
且F1(-1,0)，所以直線AF1:y=2x+2。
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通過，得到，
解或。
代入
，
因此，F2（1,0），所以直線BF2：。
通過，我們得到，解決或。
又因E是線段BF2與橢圓的交點，所以。
代入，得。因此。
解決方案 2：
由（1）可知橢圓C為： 如圖所示網校頭條，連接EF1。
因為BF2=2a，EF1+EF2=2a，所以EF1=EB，
因此，∠BF1E=∠B。
因為F2A=F2B，所以∠A=∠B，
所以∠A=∠BF1E，因而EF1∥F2A。
因為 AF2⊥x軸，EF1⊥x軸。
因為 F1(-1,0)，我們得到。
又因E是線段BF2與橢圓的交點，所以。
所以。
18、本題主要考查三角函數的應用、解方程、直線的非均勻性等基本知識。
考察運用直覺想象、數學建模、數學知識分析、解決實際問題的能力。
滿分：16分。
解決方案：解決方案 1：
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10
（1）過 A 點作一條線，垂線的底端位于 E 點。
由已知條件可知，四邊形ACDE為矩形。’
因為 PB⊥AB，
所以。
所以。
因此道路 PB 的長度為 15（百米）。
（2） ① 若 P 在 D 處，則由（1）可知 E 在圓上，則線段 BE 上的點（除
由于點B（E）到點O的距離均小于圓O的半徑，所以如果P位于D處，就不符合規則。
規劃要求。
② 若Q在D處，則連通AD。由(1)可知
因此∠BAD是銳角。
因此，線段AD上存在一點，它到點O的距離小于線段O的半徑。
因此，D處選取的Q也不符合規劃要求。
綜上所述，在 D 處，P 和 Q 都無法被選擇。
（3）首先討論點P的位置。
當∠OBP90°時，在中間，。
從上式可知，d≥15。
我們來討論一下Q點的位置。
由式(2)可知，要使QA≥15，點Q只有位于點C的右側才滿足規則。
當QA=15時，線段QA上所有點到點O的距離不小于
圓的半徑O。
綜上所述，當PB⊥AB時，Q點在C點的右側，且CQ=，d最小。此時P、
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11
兩點Q之間的距離為PQ=PD+CD+CQ=17+。
因此，當d最小時，點P和點Q之間的距離為17+（百米）。
解決方案 2：
（1）如圖所示，過O作OH⊥l，垂線的底為H。
以O為原點，直線OH為y軸，建立平面直角坐標系。
由于 BD=12，AC=6，OH=9，直線 l 的方程為 y=9，點 A，B
垂直坐標為3，-3。
因為AB是圓形區域O的直徑，AB=10，所以圓形區域O的方程為x2+y2=25。
因此 A(4, 3)，B(?4,?3)，直線 AB 的斜率為。
由于 PB⊥AB，所以直線 PB 的斜率為，
直線PB的方程為。
所以 P(?13,9),.
因此道路 PB 的長度為 15（百米）。
（2） ①設P在D點，在線段BD上取點E（?4,0），則當EO=490°時，
在中國，。
從上式可知，d≥15。
我們來討論一下Q點的位置。
由式(2)可知，要使QA≥15，點Q只有位于點C的右側才滿足規則。
當QA=15時，令Q(a,9)，從，得a=，所以Q(,9)，這
當 時，線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑。
綜上所述，當P(?13,9)，Q(,9)時，d最小，P與Q之間的距離為
離開
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12
因此，當d最小時，點P和點Q之間的距離為（百米）。
19、本題主要考查利用導數研究函數性質以及數學思想的綜合應用。
方法分析不包括解決問題和邏輯推理能力。滿分為16分。
答：（1）因為，所以。
因為，所以，解決方案是。
（2）因為
所以，
因此，令 ，我們得到 或 。
因為，在集合中，并且，
所以。
此時，。
令，我們得到或。列表如下：
–
最大限度
最低限度
所以的最小值為。
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十三
（3）因此，
．
因為因此，
那么有2個不同的零點，設置為。
靠，得到。
名單如下：
–
最大限度
最低限度
所以是最大值。
解決方案 1：
。所以。
解決方案 2：
因為因此。
然后，。
那么就訂購吧。
令，我們得到。列表如下：
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14
–
最大限度
那么在那個時候它就獲得了最大值，而且就是最大值，所以。
所以那時候，因此。
20、本題主要考查等差數列和等比數列的定義、通式、性質等基本知識。
知識，測試代數推理、變換和歸約，以及綜合運用數學知識探索和解決問題
能力。滿分16分。
解答：（1）設等比數列{an}的公比為q，故a1≠0，q≠0。
從，得，解。
因此該序列被稱為“M序列”。
（2）①因為，所以。
如果你明白了，那么。
通過，得到，
那時，由，得到，
梳理出來。
所以序列{bn}是一個等差數列，其首項和公差均為1。
因此，序列{bn}的通式為bn=n。
②由①可知bk=k,。
由于序列{cn}是“M序列”，令公比為q，因此c1=1，q>0。
因為ck≤bk≤ck+1，所以，其中k=1，2，3，…，m。
當k=1時，q≥1；
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15
當k=2,3,…,m時，有。
那么假設 f(x) =。
令，我們得到 x=e。列表如下：
（e，+∞）
–
f(x)
最大限度
因為因此。
取，當k=1,2,3,4,5,時，即
經過測試，也是成立的。
因此m的最大值不小于5。
若m≥6，分別取k=3、6，有3≤q3，且q5≤6，故q15≥243，且
q15≤216，
所以q不存在。因此m的最大值小于6。
綜上所述，m的最大值為5。
數學Ⅱ（附加題）
21. 本題由A、B、C三部分組成，請選擇其中兩個，在相應的答題框中作答。
回答該區域的問題。如果您回答了多個問題，則將根據前兩個問題進行評分。
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16
解釋、證明過程或計算步驟。
A.【選修4-2：矩陣不變換】（滿分10分）
已知矩陣
（1）查找 A2；
（2）求矩陣A的特征值。
B.【選修課4-4：坐標系非參數方程】（滿分10分）
在極坐標系中，給定兩點，直線l的方程為。
（1）求出點A和點B之間的距離；（2）求出點B到直線l的距離。
C.【選修課4-5：不等式精選講座】（滿分10分）
假設，解不等式。
第22題和第23題每題10分，共20分，請填寫在答題紙的指定區域。
作答時應寫出書面說明、證明過程或計算步驟。
22.（本題10分）假設。已知。
（1）求n的值；（2）設 ，其中 ，求 的值。
23.（本題10分）在平面直角坐標系xOy中，設點集為：
令。從集合Mn中選取任意兩個不同的點，并使用隨機變量X來表示它們之間的距離。
離開。
（1）當n=1時，求X的概率分布；
（2）對于給定的正整數n（n≥3），求概率P（X≤n）（以n表示）。
數學 II（附加問題）答案
21。
A.【選修4-2：矩陣不變換】
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17
本題主要考察矩陣運算、特征值等基礎知識，考察求解運算的能力。
得分：10分。
解決方案：（1）因為，
所以
==。
(2) 矩陣A的特征多項式為
令 ，并解得A的特征值。
B.[選修課4-4：坐標系非參數方程]
本題主要考察曲線極坐標方程的基本知識和計算求解的能力。
得分：10分。
解：（1）設極點為O，在△OAB中，A（3，），B（，），
根據余弦定律，我們得到AB=。
（2）由于直線 l 的方程為，
則直線l過點且傾斜角為。
再次，所以從點B到線l的距離為。
C.[選修課4-5：關于不平等的精選講座]
此題主要考查解不等式等基本知識，考察計算、推理能力。
力量。滿分10分。
解：當x2即x時，原方程可轉化為x+2x-1>2，解為x>1。
綜上所述，原不等式的解集為。
22、本題主要考查二項式定理、組合數等基礎知識，考察分析問題的能力。
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18
能夠不經過計算就解決問題，滿分10分。
解決方案：（1）因為，
所以，
．
因為，
所以，
必須有解決方案。
（2）由（1）可知。
．
解決方案 1：
因為因此，
從而。
解決方案 2：
．
因為因此。
所以。
23. 本題主要考察計數原理基礎知識、古典概率模型、隨機變量及其概率分布。
考察基礎知識、邏輯思維能力、推理論證能力，滿分10分。
解： (1) 當 時， 的所有可能值都是 。
的概率分布是，
．
（2）設和是從中取出的兩個點。
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19
因為，所以只需要考慮情況。
①若，則，方法不存在；
②如果、則、所以當且僅當、則或，有2種方式可供選擇；
③如果，那么，因為當時，，所以當且僅當，此時或，有2種方式可供選擇；
④如果、那么、所以當且僅當，此時或，有2種方式可供選擇。
綜上所述，當，所有可能的值為且，且
．
所以，。
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